Этот апноут (перевод AN4841 [1]) описывает разработку цифровых фильтров для аналоговых сигналов и трансформаций между доменами времени и частоты. Обсуждаемые в этом документе примеры включают FIR-фильтры высокой частоты и низкой частоты, а также преобразования FFT с плавающей точкой и фиксированной точкой на различных частотах.

Примечание: FIR означает Finite-Impulse Response, т. е. фильтр с конечной импульсной характеристикой, или КИХ-фильтр. У этого фильтра отсутствуют обратные связи с выхода на вход на ветвях фильтра. FFT означает Fast Fourier Transform, т. е. быстрое преобразование Фурье.

Соответствующее firmware (X-CUBE-DSPDEMO), предназначенное для микроконтроллеров (MCU) серий STM32F429xx и STM32F746xx, может быть портировано на любой микроконтроллер STM32.

DSP (Digital Signal Processing, цифровая обработка сигнала, ЦОС) это математическая манипуляция над данными сигналов. Сигналы для обработки в различных форматов включат звук, видео или любой аналоговый сигнал, который несет в себе информацию, такую как выходной сигнал микрофона.

Модели MCU, основанные на ядрах Cortex^®-M4 STM32F4 и Cortex^®-M7 STM32F7, предоставляют инструкции для сигнальной обработки, и поддерживают продвинутые инструкции SIMD (Single Instruction Multi Data, одна инструкция и множество данных) одноцикловые инструкции MAC (Multiply and Accumulate, умножение с накоплением).

Использование STM32 MCU в приложениях DSP реального времени не только снижает стоимость оборудования, но также снижает общее энергопотребление реализуемой системы.

[DSP: базовые понятия]

В цифровой обработке применяются форматы чисел с плавающей точкой (floating point) и фиксированной точкой (fixed point).

Floating point. Это метод для представления реальных чисел. Блок плавающей точки (Floating Point Unit, FPU [2]) в Cortex^®-M4 работает только с числами одинарной точности (single precision), которые включают 8-битное поле экспоненты (exponent) и 23-битное поле дробной части (fraction) для 32-битного представления числа (см. рис. 1). 

Рис. 1. Формат числа с плавающей точкой одинарной точности (single precision).

Блок FPU Cortex^®-M7 поддерживает формат чисел как одиночной, так и двойной точности (double precision), как показано на рис. 2.

Рис. 2. Формат числа с плавающей точкой двойной точности (double precision).

Значение числа одинарной точности:

Value = (-1)^s x M x 2^(E-127)

Значение числа двойной точности:

Value = (-1)^s x M x 2^(E-1023)

Здесь S это значение бита знака, M значение мантиссы, E значение экспоненты.

Fixed point. Это представление выражает числа с помощью фиксированной целой части (integer part) и фиксированной дробной части (fractional part), в формате двоичного дополнения (2-complement format). Например, 32-битная реализация фиксированной точки, показанная на рис. 3, выделяет 24 бита для целой части 8 бита для дробной части.

Рис. 3. Формат числа фиксированной точки.

Для ядер Cortex^®-Mx доступны данные с фиксированной точкой разрядности 8, 16 и 32 бита.

Для операций DSP чаще всего используются форматы Q7, Q15 и Q31, где биты дробной части представляют значения только в диапазоне между -1.0 и + 1.0.

Представления числа в формате Q15:

Value = (-1)^bs x (b₁₄ x 2^-1 + b₁₃ x 2^-2 + ... + b₁ x 2^-14 + b₀ x 2^-15)

Здесь bs это бит знака (15-й бит), и bn это значение для бита n.

Диапазон чисел, поддерживаемых форматом Q15, представленных дробной частью -1.0 и 1.0, соответствует самому малому и самому большому целому числу -32768 и 32767 соответственно.

Например, число 0.25 в формате Q15 будет закодировано как 0x2000 (8192).

При выполнении операций с фиксированной точкой выражение представляется следующим образом:

c = a < операнд > b

Здесь a, b и c это числа с фиксированной запятой, и < операнд > обозначает сложение, вычитание, умножение или деление. То же самое выражение действует и для чисел с плавающей запятой.

Замечание: следует уделять особое внимание выполнению операций над числами с фиксированной запятой.

Например, если c = a x b, где a и b представлены в формате Q31, то это приведет к неправильному результату, потому что компилятор обработает это выражение как операцию над целыми числами, генерируя код "muls a, b" и сохранит только самые младшие 32 бита результата.

Фиксированная точка против плавающей точки. Таблица 1 высвечивает основные достоинства и недостатки операций фиксированной точки и плавающей точки для приложений DSP.

Таблица 1. За и против применения фиксированной точки и плавающей точки.

[Инструкции DSP Cortex^®]

Ядра Cortex^®-Mx предоставляют несколько инструкций, предназначенных для эффективной реализации алгоритмов DSP.

Инструкции насыщения (saturation). Инструкции насыщения для сложения и вычитания доступны для 8-, 16- и 32-битных значений, некоторые из них перечислены в таблице 2.

Таблица 2. Инструкции насыщения.

Инструкция SSAT (аббревиатура от Signed SATurate) используется для масштабирования и насыщения значения со знаком для любой позиции бита, с опциональным сдвигом перед насыщением.

Инструкция MAC. Инструкции Multiply ACcumulate (MAC, умножение с накоплением) широко используются в алгоритмах DSP, таких как фильтры FIR и IIR.

Примечание: аббревиатура IIR обозначает Infinite Impulse Response, т. е. фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), у которого присутствуют обратные связи с выхода на вход от ветвей фильтра. Выполнение MAC за 1 такт - ключевое требование достижения высокой производительности DSP.

Следующий пример показывает, как работает инструкция SMMLA (Signed Most significant word MuLtiply Accumulate).

SMMLA R0, R4, R5, R6    ; умножается R4 и R5, распаковываются верхние 32 бита,
                        ; добавляется R6, отбрасывается остаток и результат
                        ; записывается в R0.

Инструкции SIMD. В дополнение к инструкциям MAC, которые делают за 1 такт умножение с накоплением, существуют инструкции SIMD (Single Instruction Multiple Data), выполняющие несколько идентичных операций за 1 такт. Некоторые из таких инструкций перечислены в таблице 3.

Таблица 3. Инструкции SIMD.

Следующий пример объясняет, как работает инструкция __shadd8.

unsigned int add_and_halve (unsigned int val1, unsigned int val2)
{
   unsigned int res;
   res = __shadd8(val1, val2);   // res[7:0]   = (val1[7:0]  +val2[7:0])   >> 1
                                 // res[15:8]  = (val1[15:8] +val2[15:8])  >> 1
                                 // res[23:16] = (val1[23:16]+val2[23:16]) >> 1
                                 // res[31:24] = (val1[31:24]+val2[31:24]) >> 1
   return res;
}

Встроенный объект компилятора (intrinsic) __shadd8 возвратит:

• Поделенный на 2 результат сложения первых байт каждого операнда, в первом байте возвращаемого значения.
• Поделенный на 2 результат сложения вторых байт каждого операнда, во втором байте возвращаемого значения.
• Поделенный на 2 результат сложения третьих байт каждого операнда, в третьем байте возвращаемого значения.
• Поделенный на 2 результат сложения четвертых байт каждого операнда, в четвертом байте возвращаемого значения.

[Алгоритмы]

Фильтр. Чаще всего фильтры бывают:

• FIR (Finite Impulse Response): используются, помимо всего прочего, в управлении двигателями, эквалайзерах звука.
• IIR (Infinite Impulse Response): используется для улучшения данных. IIR-фильтр может использоваться для реализации таких фильтров, как фильтры Баттерворта (Butterworth), Чебышева (Chebyshev) и Бесселя (Bessel).

Преобразование. Это функция, которая преобразует (transform) данные из одного домена в другой. Типичный пример это FFT (Fast Fourier Transform): эффективный алгоритм, используемый для преобразования дискретного сигнала из домена времени в эквивалентный сигнал в домене частоты, работающий на основе Discrete Fourier Transform (DFT).

[Разработка приложения DSP]

Cortex^® Microcontroller Software Interface Standard (CMSIS) это слой абстракции от аппаратуры, устраняющий зависимость от производителя для всех микроконтроллеров, основанных на ядре Cortex®.

CMSIS разработала организация Arm^® вместе с партнерами - производителями микроконтроллеров (MCU), программных инструментов (компиляторов) и дополнительных промежуточных библиотек (middleware).

Идея CMSIS в том, чтобы предоставить целостностный и простой программный интерфейс к аппаратуре MCU, дающий доступ к периферийным устройствам, операционным системам реального времени и библиотекам поддержки. CMSIS призвана упростить повторное использование кода, снижение времени обучения и разработки, и в ускорения выхода на рынок конечных продуктов, основанных на новых MCU.

Библиотека CMSIS поставляется вместе firmware от ST, в каталоге \Drivers\CMSIS\.

Библиотека CMSIS-DSP включает:

• Базовые математический функции для операции над векторами (массивами).
• Быстрые математические функции, наподобие синуса и косинуса (sine, cosine).
• Сложные математические функции наподобие вычисления магнитуды.
• Функции фильтрации наподобие FIR или IIR.
• Функции вычисления матриц.
• Функции преобразования наподобие FFT.
• Функции контроллера наподобие PID.
• Статистические функции, наподобие вычисления минимума и максимума.
• Сервисные функции наподобие преобразования из одного формата данных в другой.
• Функции интерполяции.

Большинство алгоритмов использует числа с плавающей запятой (floating-point) и фиксированной запятой (fixed-point) в различных форматах. Например для случая FIR доступны функции Arm^®:

arm_fir_init_f32
arm_fir_f32
arm_fir_init_q31
arm_fir_q31
arm_fir_fast_q31
arm_fir_init_q15
arm_fir_q15
arm_fir_fast_q15
arm_fir_init_q7
arm_fir_q7

Обзор демонстрационных приложений DSP. Цель этой демонстрации - показать полную интеграцию с STM32F429 при использовании ADC, DAC, DMA и таймеров, а также вызовы подпрограмм CMSIS. Все это с использованием графики, отображаемой на 2.4" QVGA TFT LCD, установленном на плате Discovery [3]. Демонстрация также показывает простоту миграции с микроконтроллера STM32F4 на один из микроконтроллеров серии STM32F7.

Графический интерфейс пользователя разработан с использованием STemWin, чтобы упростить доступ к различным функциям демонстрационного приложения.

// Инициализация модуля CFFT/CIFFT, intFlag=0, doBitReverse=1:
arm_cfft_radix4_init_f32(&FFT_F32_struct,
                         FFT_Length,
                         FFT_INVERSE_FLAG,
                         FFT_Normal_OUTPUT_FLAG);

// Функция обработки для floating-point Radix-4 CFFT/CIFFT:
arm_cfft_radix4_f32(&FFT_F32_struct, aFFT_Input_f32);

// Обработка данных с помощью Complex Magnitude Module,

// для вычисления магнитуды каждого бина:
arm_cmplx_mag_f32(aFFT_Input_f32, aFFT_Output_f32, FFT_Length);

// Вычисление максимального значения maxValue:
arm_max_f32(aFFT_Output_f32, FFT_Length, &maxValue, &maxIndex);

// Вызов функции инициализации FIR, которая заполняет поля

// экземпляра структуры фильтра:
arm_fir_init_f32(&FIR_F32_Struct,
                 NUM_TAPS,
                 (float32_t *)&aFIR_F32_Coeffs[0],
                 &firStateF32[0],
                 blockSize);

for(counter_FIR_f32_p=0; counter_FIR_f32_p=0 < numBlocks; counter_FIR_f32_p++)
{
   arm_fir_f32(&FIR_F32_Struct,
               aFIR_F32_1kHz_15kHz + (counter_FIR_f32_p * blockSize),
               aFIR_F32_Output + (counter_FIR_f32_p * blockSize),
               blockSize);
}

% Количество выборок в секунду:
Fs = 48000;% Период:
T = 1/Fs;

% Количество выборок в сигнале:
Length=320;
t=(0:Length-1)*T;

% Генерация входного сигнала:
Input_signal = sin(2*pi*1000*t) + 0.5*sin(2*pi*15000*t);

% Определение частоты среза фильтра:
Cutoff_Freq = 6000;

% Частота Найквиста:
Nyq_Freq = Fs/2;
cutoff_norm = Cutoff_Freq / Nyq_Freq;

% Порядок FIR-фильтра:
order = 28;

% Создание коэффициентов ФНЧ FIR:
FIR_Coeff = firl(order, cutoff_norm);

% Фильтрация входного сигнала FIR-фильтром:
Filtered_signal = filter(FIR_Coeff, 1, Input_signal);

fvtool(FIR_Coeff, 'Fs', Fs);

[Обзор DSP-производительности STM32]

Одно из назначений этого апноута - показать результаты тестирования производительности на MCU разных серий STM32. Проверялись следующие алгоритмы:

• Комплексное FFT по 64 и 1024 точкам (radix-4).
• Использование форматов с фиксированной точкой (Q15 и Q31).

Сравнение осуществлялось по времени выполнения (т. е. сколько времени займет обработка алгоритма FFT). Входной вектор данных был сгенерирован в MATLAB^® следующими командами:

>> Fs=48000;

>> T=1/Fs;

>> L=1024;

>> t=(0:L-1)*T;

>> x = sin(2*pi*1000*t) + 0.5*sin(2*pi*15000*t);

>> x = x(:);

Результаты сведены в таблицу 5. Код компилировался в среде тулчейна MDK-Arm™ (5.14.0.0) с поддержкой компилятора языка C V5.05, с оптимизацией Level 3 (-O3) для времени выполнения.

Таблица 5. Оценка производительности FFT на разных моделях MCU STM32.

[Ссылки]

1. AN4841 Digital signal processing for STM32 microcontrollers using CMSIS site:st.com.
2. STM32: блок вычислений с плавающей точкой.
3. STM32F429 Discovery.
4. MATLAB: как сгенерировать сигнал и его спектр.