Модуляция delta-sigma (ΔΣ, или sigma-delta ΣΔ) это метод кодирования аналоговых сигналов с преобразованием их в цифровую форму, что обычно делают аналого-цифровые преобразователи, АЦП (analog-to-digital converter, ADC). Принцип delta-sigma также используют для преобразования высокоразрядных, низкочастотных цифровых сигналов в высокочастотные, низкоразрядные - как часть преобразования цифровых сигналов в аналоговые, что применяется в цифро-аналоговых преобразователях, ЦАП (digital-to-analog converter, DAC).

В обычных АЦП аналоговый сигнал оцифровывается на частоте дискретизации, и далее квантуется по нескольким уровням, в результате чего получается цифровой сигнал. Этот процесс вводит так называемый шум ошибки квантования (quantization error noise). Первый шаг в модуляции delta-sigma это модуляция delta. В ней delta-модуляции кодируется изменение в сигнале (delta), вместо кодирования абсолютного значения. В результате получается поток импульсов, в противоположность потоку чисел, как это происходит в импульсно-кодовой модуляции (pulse code modulation, PCM). В delta-sigma модуляции точность модуляции улучшается путем пропускания цифрового вывода через 1-битный ЦАП и добавлением (sigma) полученного аналогового сигнала к входному сигналу (тому, который имеется перед delta-модуляцией), тем самым уменьшая ошибку, которая вводится delta-модуляцией.

И АЦП, и ЦАП, оба могут использовать delta-sigma модуляцию. Сначала delta-sigma АЦП кодирует аналоговый сигнал с помощью высокочастотной delta-sigma модуляции, затем применяется цифровой фильтр для формирования цифрового потока данных с высоким разрешением, но низкочастотного. Delta-sigma ЦАП кодирует входной цифровой сигнал высокого разрешения в сигнал низкого разрешения, но на высокой частоте выборок, который отображается на напряжения, и затем сглаживается аналоговым ФНЧ. В обоих случаях временное использование сигнала низкого разрешения упрощает проектирование схем и повышает эффективность.

Прежде всего из-за своей ценовой эффективности и снижения сложности схем эта техника находит все большее применение в современных электронных компонентах, таких как ЦАП, АЦП, синтезаторах частоты, импульсных источниках питания и контроллерах двигателей. Грубо квантованный выход delta-sigma модулятора иногда используется в цифровой обработки сигналов или как представление сигнала для его хранения на носителе памяти. Например, формат Super Audio CD (SACD) сохраняет выходной поток данных delta-sigma модулятора прямо на диск.

Почему преобразуют аналоговый сигнал в поток импульсов?

Если кратко, то причина в том, что очень просто восстановить импульсы в приемнике в идеальную форму, которая была при передаче. Единственная часть переданной формы сигнала, требуемая в приемнике, это время, в котором произошел импульс. Учитывая информацию времени, переданная форма сигнала может быть электрически распознана большой точностью. И напротив, без преобразования в поток импульсов, с простой передачей аналогового сигнала напрямую, к аналоговому сигналу добавляется весь шум системы, непосредственно снижая его качество.

Каждый импульс составляется из перепада вверх, следующего после короткого интервала перепада вниз. Можно даже в присутствии шума электроники реконструировать интервалы этих шагов, и восстановить переданный поток импульсов почти без всякого шума. Тогда точность процесса передачи снижается до точности, с которой переданный поток импульсов представляет входную форму сигнала.

Почему используется delta-sigma модуляция?

Модуляция delta-sigma преобразует аналоговое напряжение в частоту импульсов, и её можно понимать как модуляцию плотности импульсов или импульсно-частотную модуляцию - в зависимости от реализации. Обычно частота может меняться гладко по бесконечно малым шагам, как может меняться напряжение, и оба могут служить аналогом бесконечно мало меняющейся физической переменной, такой как акустическое давление, интенсивность освещения, и т. д. Таким образом, замена частотой напряжения происходит совершенно естественно, и используется вместе с достоинством и простотой передачи потока импульсов.

Почему используется delta-sigma модуляция в АЦП?

АЦП преобразуют значение аналоговое напряжение в значение частоты импульсов, и подсчитывают количество импульсов в известном интервале времени так, чтобы количество импульсов, поделенное на интервал, давало точное цифровое представление значения аналогового напряжения во время этого интервала. Интервал может быть выбиран для получения нужной разрешающей способности или точности. Этот метод дешево реализуется современными технологиями, и широко используется.

[АЦП, анализ]

АЦП генерирует поток импульсов частотой f, где импульсы в поток пропорциональны входному аналоговому напряжению v, так что f = k * v, где k это константа для конкретной реализации. Интервал между импульсами p определяется петлей обратной связи, p = 1/f = 1/(k * v). Действие петли обратной связи служит для мониторинга интеграла v, и затем этот интеграл инкрементируется на Δ, что показывается порогом пересечения интегрированной формы сигнала T. Затем Δ вычитается интеграла v так, чтобы объединенная форма сигнала пилы между T и T - ΔΣ. На каждом шаге импульс добавляется к потоку импульсов.

Счетчик суммирует количество импульсов, произошедших в заранее определенный период времени P, так что эта сумма Σ равна P * f = k * P. В зависимости от реализации k * P выбирается так, чтобы цифровое отображение счетчика Σ, отображает v с заранее определенным коэффициентом масштабирования. Поскольку P может получить разработанное значение, оно может быть сделано достаточно большим, чтобы получить любое желаемое разрешение или точность.

Ниже на рис. 1 показана диаграмма схемы вместе с формами сигнала, обозначенными цифрами от 1 до 5, для входного уровня 0.2V слева и 0.4V справа.

Рис. 1. Диаграммы сигналов sigma delta АЦП.

В наиболее практических применениях выбирается большой интервал суммирования по сравнению с длительностью импульса, и это применяется для сигналов, у которых доля переменной составляющей от полного диапазона уровней достаточно мала на интервале суммирования. Теорема оцифровки сигала Найквиста-Шеннона (Котельникова) требует двух выборок для восстановления изменения входного сигнала. Выборки, подходящие к этому критерию, относятся к двум последовательным Σ, взятым на двух следующих друг за другом интервалах суммирования. Интервал суммирования, который должен принять больше значение счетчика, чтобы достичь адекватной точности, неизбежно становится достаточно длинным, чтобы можно было воссоздать относительно низкие частоты сигнала. Следовательно, будет удобным и справедливым представлять входное напряжение (1) как постоянное во время нескольких импульсов.

Рассмотрим сначала замкнутую петлю обратной связи, состоящую из аналогового сумматора/вычитателя, интегратора, детектора пересечения порога и генератора импульсов.

Слева на входе 1 показано, что на коротком интервале времени сигнал постоянный, на уровне 0.2V. Поток из импульсов изменения (delta) генерируется по каждому пересечению порога, как показано в точке 2, и разница между 1 и 2 показана в точке 3. Эта разница интегрируется, чтобы получить форму сигнала 4. Детектор порога генерирует импульс 5, который начинается в момент, когда 4 пересекает порог, и импульс переходит в 0, когда 4 падает ниже порога. Обратная связь 5 вызывает срабатывание генератора для генерации импульса фиксированной мощности.

Справа показано, как входной уровень 0.4V и сумма во время импульса -0.6V отличается от суммы -0.8V на картинке слева. Из-за этого интервал отрицательной части импульса на диаграмме справа меньше, чем на диаграмме слева.

Также сравните сумму 0.4V справа с суммой 0.2V слева. Таким образом, положительная часть импульса больше справа, чем слева.

В результате получается, что интеграл (4) пересекает порог быстрее справа, чем слева. Полный анализ показал бы, что фактически интервал между пересечениями порога справа составляет половину от интервала между пересечениями порога слева. Т. е. частота импульсов удваивается. Счетчик инкрементируется в 2 раза быстрее, что адекватно изменению в 2 раза входного напряжения. Общий эффект петли отрицательной обратной связи состоит в поддержке работающего интеграла последовательности импульсов таким образом, чтобы он соответствовал входному аналоговому сигналу. Также частота последовательности импульсов пропорциональна ограниченной амплитуде полосы пропускания входного сигнала. Ограничение полосы пропускания происходит из-за того, что теорема Найквиста-Шеннона требует 2 импульса на период, чтобы определить самую высокую пропускаемую частоту.

Получающиеся формы сигнала 4 следуют концепции, связанной с delta-функцией Дирака, по которой все импульсы одинаковой мощности продуцируют по определению тот же шаг для их интеграла. Тогда 4 конструируется с помощью промежуточного шага (6), на котором каждый интегрированный импульс представлен шагом установленной мощности, который спадает до 0 со скоростью, определяемой входным напряжением. Эффект конечной длительности импульса, сконструированного в (4) происходит от формирования линии от базы на 0V до пересечения с линией затухания из (6) на полной длительности импульса.

Теперь рассмотрим схему за петлей обратной связи. Интервал времени суммирования это префиксное время, и по его истечении значение счетчика стробируется в буфер, и счетчик сбрасывается. Это необходимо, чтобы соотношение между интервалом импульса и интервалом суммирования был равен максимальному значению счетчика (полная шкала). Тогда возможно формировать длительность импульса и интервал суммирования теми же тактами, с подходящей конфигурацией логики и счетчиков. Преимущество такого решения в том, что никакой интервал не должен быть определен с абсолютной точностью, важно только лишь соотношение. Тогда для достижения общей точности требуется только формирование точной амплитуды импульсов. На рис. 1 упрощенная блок-диаграмма delta-sigma АЦП показана с отдельными функциональными элементами, и таким способом сделана попытка показать принцип, независимый от конкретной реализации. Многие частные реализации стремятся определить длительность импульса и интервал суммирования от той же самой частоты, о которой говорилось выше, но при таком способе начало импульса задерживается до следующей подходящей границы импульса. Эффект такой задержки показан на рис. 1a для последовательности импульсов с номинальными интервалами 2.5 такта - сначала для импульсов, генерируемых сразу при пересечении порога, как было описано ранее, и затем с импульсами, задержанными из-за тактирования. Эффект от этой задержки, во-первых, проявляется в том, что полка продолжается до начала импульса, и во-вторых, что импульс генерирует фиксированный шаг амплитуды, чтобы интеграл сохраняет избыток, полученный за время задержки импульса, и полка стартует снова с верхней точки, и находится теперь на той же точке, что и свободно работающий интеграл. Получаемый эффект для этого примера в том, что не задержанные импульсы в точках такта 0, 2.5, 5, 7.5, 10 и т. д. и импульсы тактирования произойдут в моменты 0, 3, 5, 8, 10 и т. д. Максимальная ошибка, которая может произойти из-за тактирования немного меньше одного отсчета. Хотя преобразователь Sigma-Delta обычно реализуется с общей тактовой частотой, чтобы определить длительность импульса, и интервал суммирования не является абсолютно необходимым, реализации, где длительности определены независимо, избегают одного из источников шума, генерируемого ожиданием следующей общей границы такта. Там, где шум является главным фактором, переопределяющим важность абсолютной точности по амплитуде, например при передаче сигнала в ограниченной полосе пропускания, могут быть реализованы раздельно определенные интервалы.

Рис. 1a. Эффект от импульсов тактирования.

[Практическая реализация]

Пример схемы показан на рис. 1b, и её формы сигнала показаны на рис. 1c. Эта схема составлена главным образом для иллюстрации, подробности по отдельным реализациям можно получить из даташитов производителей микросхем АЦП. Преимущество альтернативной схемы 1b в том, что напряжение на контактах ключа относительно постоянное, и близко к 0.0V. Также ток, генерирумый через R опорным напряжением -V_ref, постоянный на уровне -V_ref/R, что генерирует намного меньше шума на соседних частях схемы. Это было бы предпочтительной схемой на практике, но чтобы показать импульс как импульс напряжения (для согласования с предыдущим описанием), на этой схеме используется электрический эквивалент.

Рис. 1b. Схема примера практической реализации дельта-сигма АЦП.

Формы сигнала, показанные на рис. 1c, необычно сложные, потому что они предназначены иллюстрировать поведение петли обратной связи в предельных условиях, V_in насыщается на полной шкале 1.0V, и насыщение вниз происходит при нуле. Также показано промежуточное состояние V_in = 0.4V, и обычные рабочие условия входного сигнала от 0 до 1.0v очень похожи на работу блок-диаграммы рис. 1.

Рис. 1c. Формы сигнала схемы.

На рис. 1c показаны формы сигнала, помеченные следующими метками:

Clock, тактовый сигнал.

(a), V_in. На этой диаграмме показано изменение входного сигнала от 0.4V до 1.0V, и затем к 0V, чтобы показать эффект работы петли обратной связи.

(b), осциллограмма импульса, соответствует осциллограмме 5 рис. 1.

(c), ток в конденсатор, I_c. этот ток формируется линейной суммой импульсного напряжения после R2 и V_in через R1. График показывает эту сумму как напряжение результата умножения R * I_c. Входное сопротивление усилителя считается достаточно высоким, чтобы входным током можно было пренебречь. Емкость подключена между инвертирующим входом усилителя и его выходом. Этим соединением обеспечивается отрицательная обратная связь для усилителя и формируется интегратор. Изменение входного напряжения равно изменению выходного напряжения, поделенному на коэффициент усиления усилителя. Когда этот коэффициент усиления очень большой, можно пренебречь изменением входного напряжения на инвертирующем входе усилителя (можно считать его замкнутым на землю), потому что обратная связь принуждает усилитель поддерживать на инвертирующем входе напряжение, близкое к напряжению на неинвертирующем входе (это следует из теории работы операционных усилителей []), который в нашем случае замкнут на землю. Из-за того, что на инвертирующем входе усилителя (на правом выводе R1) напряжение равно 0V, то напряжение на R1 просто равно V_in, таким образом ток в конденсатор равен входному напряжению, поделенному на сопротивление R1.

(d), инверсный интеграл I_c. Эта инверсия стандартна для реализации интегратора на основе операционного усилителя, и появляется потому, что ток в конденсатор на входе усилителя равен току из конденсатора на выходе усилителя, и выходное напряжение будет интегралом тока, поделенного на емкость C.

(e), выход компаратора. Компаратор это усилитель с чрезвычайно большим коэффициентом усиления. У него неинвертирующий вход (опорное напряжение сравнения) также подключен к земле. Всякий раз, когда инвертирующий вход компаратора получает отрицательное напряжение относительно не инвертирующего входа, на выходе компаратора появляется положительный максимальный уровень, и наоборот, когда напряжение на инвертирующем входе компаратора становится положительным относительно не инвертирующего входа, на выходе компаратора появляется отрицательный максимальный уровень (происходит насыщение выхода компаратора). Таким образом, выход получает положительное насыщение всякий раз, когда интеграл (d) переходит на уровень ниже 0V опорного уровня, и остается там, пока (d) не станет положительным.

(f), выход импульсного таймера. В качестве импульсного таймера работает D-триггер, срабатывающий по положительному перепаду тактов clock. Входная информация, подаваемая на D, передается на выход триггера Q, когда происходит положительный перепад импульса clock. Таким образом, когда выход компаратора (e) положительный, то на выходе Q сигнал остается положительным до следующего положительного перепада тактов. Подобным образом, когда уровень (e) станет отрицательным, выход Q станет отрицательным на следующем положительном перепаде clock. Q управляет электронным ключом для генерации импульса тока в интегратор. Показана форма (e) во время начального периода, когда V_in = 0.4 V, (e) пересекает порог перед положительным перепадом clock, так что здесь есть заметная задержка перед запуском импульса. После запуска импульса еще одна задержка происходит, когда (e) поднимается обратно через порог. Из-за этого выход компаратора остается в высоком уровне, но перейдет в низкий на следующем перепаде тактов триггера. На следующем перепаде выход импульсного таймера перейдет в 0, отслеживая уровень на выходе компаратора. Таким образом, период тактов определяет длительность импульса. Для следующего импульса порог пересекается сразу перед перепадом тактов триггера, так на выходе компаратора высокий уровень останется только на короткое время. V_in (a) переходит на уровень полного диапазона +V_ref, коротко перед окончанием следующего импульса. Остаток импульсного тока через конденсатор (c) перейдет в 0, и следовательно наклон интегратора кратко перейдет к нулю. После этого импульса течет положительный ток полной шкалы (c), и интегратор переходит на свой максимальный уровень, и пересечение порога произойдет на следующем тактовом перепаде триггера. На этом перепаде запускается импульс, и ток V_in теперь соответствует опорному току, так как левая обкладка конденсатора (c) заземлена благодаря активности операционного усилителя интегратора. Тогда интегрирование идет по наклону к нулю, и остается на отрицательном значении, которое было в начале импульса. В результате получается, что импульсный ток остается включенным, потому что Q на высоком уровне на каждом перепаде сигнала тактов.

Иногда V_in (a) переходит в 0, что означает, что сумма токов (c) станет полностью отрицательным, и уровень на выходе интегратора будет повышаться. На короткое время порог будет пересечен, и в результате переключения Q, импульсный ток будет выключен на короткое время. Ток конденсатора (c) теперь нулевой, так что уровень интегратора направляется к нулю, оставаясь постоянным на величине, которая была определена на окончании импульса.

(g), выходной поток бит. Это поток импульсов, который генерируется с помощью управления вентиля тактов отрицательным выходом импульсного таймера. После всех действий интервал суммирования, sigma-счетчик и буфер счетчика реализуются подходящими счетчиками и регистрами. Форма сигнала на входе V_in аппроксимируется путем передачи потока импульсов (g) в фильтр низкой частоты, однако в результате получится дефект, обсуждаемый в контексте рис. 1a. Одна из возможностей уменьшить эту ошибку - снизить вдвое период тактов, и удвоить его амплитуду путем уменьшения в два раза резистор R2; благодаря этому мощность импульса останется такой же, и она не будет влияет на соседние импульсы. Тогда здесь будет переход порога для каждого импульса. По такому изменению моностабильный триггер, управляемый компаратором по порогу пересечения будет точнее отслеживать эти пересечения, что устранит один из источников ошибки, как в ЦАП, так и в sigma-delta модуляторе.

Дополнительные замечания. В этой секции мы главным образом имели дело с аналого-цифровым преобразователем на основе интегратора и отдельными простыми и дешевыми узлами схемы, которые позволяют при этом добиться удивительной точности. Изначально конфигурация Delta-Sigma была создана INOSE и другими разработчиками, чтобы решить проблемы точной передачи аналоговых сигналов. В таком приложении аналоговый сигнал преобразовывался в поток импульсов, который передавался, и на месте приема оригинальный сигнал восстанавливался с помощью восстановителя импульсов и ФНЧ. Этот ФНЧ выполнял функцию суммирования, связанную с Σ. Математическая обработка учитывает ошибки, возникающие при передаче сигнала по каналу связи, так что эти ошибки уничтожаются на приемнике в процессе накопления, связанного с операцией Σ.

Известно, что техника анализа Фурье может представить приходящую форму сигнала на интервале суммирования как сумму константы и базовых гармоник, у каждой из которых есть точное целое число периодов на интервале оцифровки. Также хорошо известно, что интеграл от синусоидальной или косинусоидальной волны от целого числа её периодов равен 0. Тогда интеграл от приходящего сигнала по интервалу суммирования уменьшается до интеграла от константы, и когда этот интеграл поделен на интервал суммирования, то он становится средним значением за этот интервал. Интервал между импульсами пропорционален инверсии среднего значения входного напряжения на этом интервал, так что по этому интервалу ts выборка среднего значения входного напряжения пропорциональна V/ts. Таким образом, усреднение входного напряжения по периоду суммирования отражает значение входного сигнала, и будет подвергнуто незначительным вариациям.

К сожалению, анализ передаваемого потока импульсов во многих случаях был не критически перенесен на АЦП.

Как было показано в секции "АЦП, анализ", эффект ошибки ограничения импульса происходит на границах тактов и вводит шум при ожидании следующего перепада тактов. Это окажет самое вредное влияние на высокочастотные компоненты сложного сигнала. Был показан способ устранения одного из источников ошибки на примере работы ЦАП, путем изменения соотношения между длительностью импульса тактов и интервала суммирования, все еще далеко не ясно, почему полезна синхронизация в среде одноканальной передачи, так как это лишняя сложность и лишний источник шума. Однако возможно, что такой принцип обработки полезен в среде TDM (time division multiplex, передача информации по разным каналам с разделением времени).

Очень точная система передачи информации с постоянной частотой дискретизации может быть сформирована по полному принципу, показанному здесь, когда передача выборок из буфера осуществляется с защитой кодами коррекции ошибок на основе избыточности (redundancy error correction). В этом случае выбирается компромисс между полосой пропускания и размером буфера N. Система восстановления сигналов потребует проверку и коррекцию ошибок на канале передачи, преобразование из цифровой формы в аналоговую (ЦАП) и схему выборки-хранения. Возможные дальнейшие улучшения включают некую форму восстановления перепадов сигнала. Это может быть реализовано на PCM (pulse code modulation, импульсно-кодовая модуляция) о оцифровкой на основе sigma-delta АЦП.

Все выше приведенное описание показывает, почему импульс называется delta. Шаг это интеграл импульса. Может быть применен 1-битный ЦАП для генерации шага, и также должно быть соединение импульса и интегрирования. Анализ, который рассматривает импульс как выход 1-битного АЦП, скрывает структуру за именем (sigma delta), что вносит путаницу и усложняет интерпретацию имени, показывающего функцию работы системы. Этот анализ распространен очень широко, но он устарел.

Современный альтернативный метод преобразования напряжения в частоту обсуждается в описании синхронного преобразователя напряжение/частота (synchronous voltage to frequency converter, SVFC), за которым может идти счетчик, чтобы получить такое же цифровое представление сигнала, как показано выше.

[ЦАП]

Каждый импульс в потоке имеет известную, постоянную амплитуду V и длительность dt, что известно как интеграл от V по dt, но с переменным разделяющим интервалом. В формальном анализе импульс, такой как интеграл от V по dt, рассматривается как δ (дельта) функция Дирака, определенная на шаге интегрирования. Здесь мы покажем этот шаг как следующее выражение:

Между импульсами склон интеграла пропорционален v, так что для некоторого A справедливо:

Откуда:

Delta-sigma модуляторы часто используются в преобразователях цифра-аналог, или ЦАП. В общем случае ЦАП преобразует цифровое представление аналогового сигнала в соответствующий физический уровень этого аналогового сигнала. Например, уровень аналогового напряжения, подаваемого на динамик акустической системы, может быть представлен 20-битным цифровым значением, и ЦАП преобразует это значение в нужное напряжение. Для реального питания нагрузки (наподобие динамика) выход ЦАП обычно соединяется со входом электронного усилителя, или интегрируется в усилитель.

Можно использовать delta-sigma модулятор в УНЧ класса D (Class D Amplifier). В этом случае многобитное цифровое число подается на вход delta-sigma модулятора, который преобразует его в быструю последовательность ноликов и единичек (0 и 1). Эти 0 и 1 преобразуются в аналоговые напряжения. Это преобразование обычно осуществляется мощными драйверами MOSFET, что очень эффективно в контексте затрат энергии, потому что эти драйверы либо полностью открыты (пропускают ток), либо полностью закрыты (ток через не проходит), так что энергия тратится главным образом только на перезарядку емкостей при переключении драйвера из одного состояния в другое, и также есть небольшие потери, связанные с ненулевым сопротивлением каналов транзисторов MOSFET, когда они находятся в режиме насыщения (открыты).

В результате на выходе получается сигнал двух уровней, похожий на исходный, но более мощный, однако в нем присутствуют высокочастотная компонента, связанная с быстрыми переключениями между двумя уровнями. Эти добавленные частотные компоненты также содержат в себе ошибку квантования delta-sigma модулятора, но они могут быть отфильтрованы с помощью ФНЧ. В результате получится оригинальный аналоговый сигнал, синтезированный из цифровых значений.

Сама схема относительно недорогая. Цифровая часть схемы маленькая, и силовая часть схемы проста. Это контрастирует с многобитным ЦАП, у которого могут быть очень строгие условия дизайна, чтобы точно представлять цифровые значения большими количествами бит.

Для использования delta-sigma модулятора в цифро-аналоговом преобразовании решение может быть эффективным по цене, с малым потреблением и высокой производительностью.

Взаимосвязь с дельта-модуляцией. Сигма-дельта модуляция (SDM) была инспирирована дельта-модуляцией (DM), как показано на рис. 2. Если квантование гомогенно (т. е. если оно линейно), то тогда могут быть следующие преобразования при переходе от DM к эквивалентной SDM, см. диаграммы (1)..(3) на рис. 2:

Рис. 2. Как из Δ-модуляции перешли к ΔΣ-модуляции.

(1). Начнем с блок-диаграммы, состоящей из дельта-модулятора и демодулятора.

(2). Линейное свойство интегрирования (интеграл(а) + интеграл(b) = интеграл(a + b)) делает возможным переместить интегратор, который реконструирует аналоговый сигнал в секции демодулятора, в место перед дельта-модулятором.

(3). И снова по свойству линейности интегрирования можно скомбинировать друг с другом два интегратора, и получить один блок дельта-сигма модулятора/демодулятора.

Однако квантователь не гомогенный, так что такое объяснение некорректно. Правда, что дельта-сигма инспирирована дельта-модуляцией, но они отличаются в работе. Из первой блок-диаграммы на рис. 2 интегратор в петле обратной связи может быть удален, если обратная связь будет взята напрямую со входа ФНЧ. Следовательно, для входного сигнала дельта-модуляции u фильтр низкой частоты видит сигнал:

Однако сигма-дельта модуляция помещает тот же входной сигнал на фильтр низкой частоты:

Другими словами, SDM и DM переставляют положение интегратора и квантователя. В результате получается проще реализация, которая добавляет выгоду вырезания шума квантования из интересующих сигналов (т. е. интересующие сигналы фильтруются ФНЧ, в то время как шум квантования фильтруется ФВЧ). Этот эффект увеличивается с повышением передискретизации, что позволяет управлять шумом квантования. С другой стороны, дельта-модуляция одинаково формирует как шум, так и сигнал.

Изначально, когда запускается последовательность преобразования, схема будет иметь произвольное состояние, которое зависит от интеграла всей предыдущей истории. На математическом языке это соответствует произвольной интегральной константе неопределенного интервала. Это следует из факта, что основа метода это интегратор, который может иметь произвольное состояние в зависимости от предыдущего состояния входа, см. рис. 1c (d). Начиная с появления первого импульса частота потока импульсов пропорциональна преобразуемому входному напряжению. Доступен демонстрационный онлайн-апплет [5] для симуляции всей архитектуры.

Дополнительно квантователь (т. е. компаратор), используемый в DM, имеет выходной сигнал с малым шагом вверх и вниз при квантованной аппроксимации входа, в то время как квантователь, используемый в SDM, должен принимать значения вне диапазона входного сигнала, как показано на рис. 3.

Рис. 3. Пример SDM из 100 выборок для одного периода синусоидального сигнала. 1-битные выборки (на выходе компаратора) наложены на диаграмму синусоидального сигнала, где лог. 1 (т. е. +V_CC) показана синим цветом, и лог. 0 (т. е. -V_CC) показан белым.

В общем, ΔΣ-модуляция имеет несколько достоинств по сравнению с Δ-модуляцией:

• Вся структура проще:

   - Нужен только 1 интегратор.
   - Для восстановления сигнала демодулятор может быть простым линейным фильтром (т. е. RC или LC).
   - Квантователь (т. е. компаратор) может иметь выходы с изменением уровня по всему диапазону сигнала.

• Квантованное значение это интеграл от изменений сигнала, что делает его менее чувствительным к скорости изменения сигнала.

Передискретизация. Рассмотрим сигнал на частоте f₀, и частоту оцифровки f_s, которая намного выше частоты Найквиста (см. рис. 5). ΔΣ модуляция основана на технике передискретизации, чтобы уменьшить шум в интересующем диапазоне частот (показан зеленым), что также позволяет избежать высокоточных аналоговых схем для антиалиасингового фильтра. Шум квантования остается такой же и в конвертере Найквиста, и в конвертере передискретиации (показано синим), но он распространен по широкому спектру. В ΔΣ конвертерах шум еще больше уменьшается, поскольку спектр шума перемещается в сторону более высоких частот, где его проще фильтровать. Эта техника называется noise shaping (сглаживание шума).

Рис. 5. Кривые сглаживания шума и спектр шума в ΔΣ модуляторе.

Для дельта-сигма модулятора первого порядка шум сглаживается фильтром с передаточной функцией H_n(z) = [1 - z^-1]. Если предположить, что частота f_s много больше f₀, шум квантования в желаемом диапазоне частот может быть аппроксимирован:

Подобным образом для дельта-сигма модулятора второго порядка шум сглаживается передаточной функцией H_n(z) = [1 - z^-1]². Этот шум квантования в рабочем диапазоне может быть аппроксимирован как:

Для общего случая с ΔΣ модулятором порядка N, вариантность шума квантования в рабочем диапазоне определяется формулой:

Когда частота выборок удваивается, шум квантования может быть ослаблен на 10log₁₀(2)(2N+1) dB для ΔΣ модулятора порядка N. Чем выше коэффициент передискретизации, тем выше соотношение сигнал/шум, и выше разрешающая способность в битах.

Другой ключевой аспект передискретизации - выбор компромисса скорость/разрешающая способность. Фактически фильтры децимации, помещаемый после модулятора, не только фильтрует весь оцифрованный сигнал в интересующем диапазоне (вырезая шум на более высоких частотах), но также уменьшает частоту сигнала, повышая разрешающую способность. Это получается за счет некого усреднения высокоскоростного потока бит.

См. также [7, 8].

[Ссылки]

1. Delta-sigma modulation site:wikipedia.org.
2. Дельта-сигма модуляция: назад в будущее site:kit-e.ru.
3. MT-028 Voltage-to-Frequency Converters site:analog.com.
4. Dirac delta function site:wikipedia.org.
5. Sigma-Delta ADC Tutorial site:analog.com.
6. Quantization (signal processing) site:wikipedia.org.
7. Oversampling site:wikipedia.org.
8. Улучшение оцифровки с помощью передискретизации и усреднения.
9. XPS Delta-Sigma ЦАП.